Criterios de divisibilidad y Números Primos

¿Te ha pasado?

¿Alguna vez has sentido que cualquier tema de matemáticas, por más fácil que parezca, se te complica demasiado de entender? Pues la respuesta a este problema se encuentra en que estás enfocando tu atención a información que no es crucial para entenderlos.

A través de este espacio vas a conocer lo que NECESITAS SABER y lo que NO NECESITAS SABER acerca de dos temas tan importantes como lo son los criterios de divisibilidad y los números primos. 

Verás lo fácil de aprender que son estos temas (y muchos otros más) cuando tienes la dirección correcta y no te pierdes con contenido que no va ni al caso. Te darás cuenta de que con esto será mucho más sencillo hallar la información que necesitas cuando la comparas y analizas para ahorrar tiempo y esfuerzo (y uno que otro coraje).

Lo que necesitas saber sobre Criterios de Divisibilidad

Como te dije antes, la información de la que nos basamos para estudiar un tema es tan importante como la manera en que los analizamos y comprendemos, porque cuando saturamos de información a nuestra mente es posible que lleguemos a olvidar lo más importante y aquello que es verdaderamente necesario para entender y aplicar los conocimientos  aprendidos y concentramos la información que está de más. Así que prepara una libreta y tu voluntad para aprender que comenzamos.

¿Dividir es lo mismo que divisibilidad?

Dentro del conjunto de los números enteros se halla la propiedad de que todos son divisibles mínimamente entre la unidad y entre sí mismos. Tal motivo lleva a cuestionarnos acerca de qué números son divisibles entre otros de forma exacta, y es en base a esto que encontramos entonces lo que significa la divisibilidad:

"La divisibilidad resulta ser la propiedad que poseen todos los números enteros a partir del cual pueden ser divididos por otro número entero y arrojar como resultado de la operación aritmética otro número entero, de las mismas características y sin decimales."

En base a esto podemos destacar la gran diferencia que existe entre los conceptos dividir y divisibilidad, ya que el primero se refiere a aquella operación aritmética que sirve para repartir una cantidad entre otra, mientras que el segundo se refiere a que esta operación sea exacta y sin residuo.

Criterios de divisibilidad

Para empezar, ¿qué son los criterios de divisibilidad? Bueno, si anteriormente mencionamos lo que significa divisibilidad, entonces es fácil explicar qué son. Los criterios de divisibilidad son parámetros que se pueden tomar en cuenta para determinar si una cantidad es divisible entre otra sin necesidad de efectuar la división.

A continuación se presentan los criterios de divisibilidad más útiles y los más esenciales (desde el dos hasta el 11) a la hora de trabajar con números:

1. Divisibilidad por 2: un número es divisible entre 2, cuando su última cifra de la derecha es cero o un número par.

Ejemplos:

a) 2,506 /2 = 1,253

 

b) 7,818 /2 = 3,909

  

c) 112 / 2 = 56

2. Divisibilidad por 3: un número es divisible entre 3, cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es tres o un múltiplo de tres.

Ejemplos:

a) 3,207 es divisible entre tres porque: 3 + 2 + 0 + 7 = 12 y 1 + 2 = 3

b) 8,451 es divisible entre tres porque: 8 + 4 + 5 + 1 = 18 y 1 + 8 = 9

3. Divisibilidad por 4: un número es divisible entre 4, cuando las dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un número divisible por cuatro. 

Ejemplos:

a) 3,500 ÷ 4 pues 500 ÷ 4 = 125

b) 6,120 ÷ 4 pues 20 ÷ 4 = 5

c) 432 ÷ 4 pues 32 ÷ 4 = 8

4. Divisibilidad por 5: un número es divisible entre 5, cuando su última cifra de la derecha termina en cero o en cinco.

Ejemplos:

a) 540 ÷ 5 porque 40 ÷ 5 = 8

b) 345 ÷ 5 porque 45 ÷ 5 = 9

c) 1,025 ÷ 5 porque 25 ÷ 5 = 5

5. Divisibilidad por 6: un número es divisible entre 6, cuando simultáneamente es divisible entre dos y tres.

Ejemplos:

a) 5,148 ÷ 2 porque termina en cifra par (8).

5,148 ÷ 3 porque: 5 + 1 + 4 + 8 =18 y 1 + 8 = 9 ∴ 5,148 es múltiplo de 6.

b) 2,280 ÷ 2 porque termina en cero.

2,280 ÷ 3 porque: 2 + 2 + 8 + 0 = 12 y 1 + 2 = 3 ∴ 2,280 es múltiplo de 6.

7. Divisibilidad por 8: un número es divisible entre 8, cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un número divisible entre ocho. 

Ejemplos:

a) 6,000 pues sus tres últimas cifras son ceros.

b) 8,104 pues sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8: 104 ÷ 8.

8. Divisibilidad por 9: un número es divisible entre 9, cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es divisible entre nueve.

Ejemplos:

a) 621, porque 6 + 2 + 1 = 9.

b) 4,752 porque: 4 + 7 + 5 + 2 = 18, y 18 es divisible entre 9.

9. Divisibilidad por 10: un número es divisible entre 10, cuando su última cifra de la derecha es cero.

Ejemplos:

a) 750, porque la última cifra es cero.

b) 4,070 porque la última cifra es cero.

c) 7,000 porque sus últimas tres cifras son cero.

10. Divisibilidad por 11: un número es divisible entre 11, cuando la suma de sus cifras de lugar impar (tomados de derecha a izquierda), menos la suma de las cifras de lugar par, tenga como resultado un múltiplo de once. 

Ejemplos:

a) 74,239 ÷ 11, ya que 9 + 2 + 7 = 18, y 3 + 4 = 7, entonces 18 – 7 = 11.

b) 4,092,627 ÷ 11, ya que 7 + 6 + 9 + 4 26, y 2 + 2 + 0 = 4, entonces 26 – 24 = 22, que es múltiplo de 11.

Lo que NO necesitas saber sobre Criterios de Divisibilidad

A continuación te presento los puntos que no necesitas estudiar para comprender el tema de criterios de divisibilidad pero que podrías investigar paea ampliar tu vocabulario y conocimiento matemático y que te permitirán ser más versátil, pero si lo que te interesa es solamente estudiar lo fundamental entonces cuando veas estos temas no será necesario que los revises.

• División euclídea: la división euclídea es, básicamente, sinónimo del concepto de divisibilidad, es decir, que se refiere a aquel procedimiento en el que efectuar la operación entre dos cantidades el cociente obtenido de ésta carece de residuo y, por lo tanto, se deduce en una división exacta. Y no es necesario que conozcas este concepto a la prefección porque es otra forma referirse a la divisibilidad.

• Propiedades de la divisibilidad: al igual que en cualquier tema matemático, la divisibilidad posee ciertas propiedades que facilitan el trabajo con ella a causa de que ayudan a entender mejor los procesos que conlleva. Estas propiedades pueden variar de acuerdo a ciertas condiciones en las que se deben encontrar los elementos de la división y sus partes y llegan a ser muchas propiedad. Por tal motivo no cosidero necesaria su inclusión dentro del tema principal, además de que estos conceptos ya son particulares y propias de la divisbilidad, además de que estos conceptos ya son particulares y propios de la  divisibilidad y no de los criterios de divisibilidad.

• Otros criterios de divisibilidad: además de los diez números principales con los cuales se trabajó en el tema de lo que es necesario, también se encuentran otros criterios de divisibilidad que son importantes pero que están estrechamente relacionados a los principales. Y es que estos pueden ir desde el número 13 hasta el número 20, y no sólo estos sino que, inclusive, entre los números principales se pueden hallar otros criterios a parte de los que ya se revisaron, como una especie de variación con respecto a los criterios originales.

Lo que necesitas saber sobre Números Primos, Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) y Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Es importante destacar que es en base a los números primos que funcionan tanto el M.C.M. como el M.C.D. dado sus propiedades en temas que se verán aquí en adelante.

Números Primos

Dentro del conjunto de los números naturales hallamos la siguiente clasificación:

• Números primos: los números primos son aquellos que solo tienen como factores a la unidad y a sí mismos. Entre algunos de los números primos se encuentran: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
• Números compuestos: por otro lado, los números compuestos son todos aquellos números naturales distintos de la unidad y que pueden ser expresados como el producto de dos o más enteros positivos diferentes de sí mismo, los cuales son sus factores y en algunos casos pueden repetirse.

Teorema Fundamental de la Aritmética

El teorema fundamental de la Aritmética estabece que cualquier número natural mayor que 1 puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (a manera de factorización) es única.

Dicho de otro modo, los números no solo pueden expresarse de la forma tradicional como los conocemos, ya que es posible verlos como un producto de diversos factoresque pueden repetirse. Sin embargo, el orden de estos factores con los cuales se puede expresar un número en forma de producto. Para comprender esto analicemos el siguiente video que explica el tema:

Factores o divisores comunes

Son divisores comunes de dos o más números aquellos que dividen tanto a uno como a otro número de forma exacta. Por ejemplo: hallar los divisores comunes de 72 y 48.

a) 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.

b) 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48.

Por lo tanto, sus divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

Un entero es un múltiplo común de dos o más enteros si es múltiplo de cada uno de ellos. Es frecuente tener que usar el menor entero positivo que sea común múltiplo que sea común múltiplo de dos o más enteros, al cual se le llama mínimo común múltiplo.

En base a la definición anterior, entendemos por mínimo a algo que es lo más pequeño que se puede alcanzar dentro de un rango de condiciones; a común como un aspecto que se repite y que es igual para un grupo o un conjunto de números; y múltiplo son aquellos factores por los cuales un número se puede dividir de forma exacta. Entonces, con esto, se puede decir que el M.C.M. es aquel número natural más pequeño que puede dividir de manera exacta a todos los números de un grupo de naturales porque es común a todo estos.

El mínimo común múltiplo es muy útil cuando se requiere realizar operaciones con fracciones de distinto denominador y se necesita hallar un denominador común para estas.

Obtención del M.C.M.

Calcular el M.C.M. de un grupo de números es un proceso bastante sencillo que requiere únicamente de atención y paciencia, además de conocer qué son los números primos, tema que ya estudiamos anteriormente. Así que para obtener este valor aplicaremos el método más práctico y rápido que existe, y para ello hay que realizar los siguiente pasos:

1. Dibujamos una tabla como la siguiente:

Aprecia que en la estructura de la tabla los números a los que se les pretende obtener el M.C.M. irán anotados en la parte superior izquierda, mientras que los factores primos se irán anotando en la parte derecha de la tabla a medida que se va obteniendo el M.C.M.

2. Escribimos los números a los que se les obtendrá el M.C.M: una vez identificadas las partes de la tabla es momento de proceder a escribir los números a los que les obtendremos el M.C.M. y para ello mostraré un ejemplo con las cantidades 16 y 22:

3. Descomponer en factores primos: para comenzar el proceso de obtención del M.C.M. de estas cantidades hay que descomponerlos en sus factores primos con la finalidad de llegar a lo planteado por el Teorema Fundamental de la Aritemética y así hallar el múltiplo en común que tienen.

Entonces, el primer múmero con el que hay que comenzar a descomponer es el 2; en dado caso de que los números a los que deseamos obtener el M.C.M. fueran 9 y 15 no sería posible comenzar por el 2, por lo que habría que usar el 3 o el 5, el punto aquí es que al menos uno de los números pueda ser dividido por un factor primo. Lo que se hará es que el dos va a dividir a las dos cantidades, pero los resultados de la división deben ser exactos (aquí recordamos el concepto de divisibilidad), porque esta es una condición imprescindible para llegar al resultado correcto.

Una vez que se hallan dividido los números principales se baja el resultado de la división y se continua con el mismo proceso, analizando que número primo divide, por lo menos, a uno de los números que se tienen, hasta que el cociente de cada uno de estos llegue a ser 1.

4. Multiplicar los factores primos: como último paso solo resta multiplicar los factores primos que resultaron de la descomposición, en este caso fueron 2, 2, 2, 2 y 11 entonces los multiplicamos:

El producto de esta multiplicación es el M.C.M. por lo que para este ejemplo el mínimo común múltiplo de 16 y 22 es 176.

A continuación te dejo dos vídeos que muestran la manera en que puedes obtener el M.C.M. de cantidades de manera muy sencilla si aún te quedaron dudas.

Si deseas poner en práctica lo aprendido sigue el siguiente enlace:

Ejercicios resueltos de M.C.M.

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números. En otras palabras, el máximo común divisor, es aquel número más grande por el cual dos o más números pueden ser divididos sin dejar residuo.

Su utilidad principal está en el campo de las fracciones, ya que el M.C.D. nos permite simplificar de manera más rápida cualquier fracción.

Obtención del M.C.D.

El proceso de obtención del M.C.D. es bastante similar al del M.C.M. a excepción de un pequeño detalle que hace que los resultados sean distintos. Entonces, comenzamos por seguir los siguientes pasos:

1. Dibujar la tabla: vamos a dibujar la misma tabla que la que hicimos en el M.C.M. Esta debe ser igual.

2. Escribir los números a los que se les obtendrá el M.C.D: igual que con el M.C.M. escribimos los números en la parte superior izquierda de la tabla. Para ejemplificar usaremos los números 15 y 25.

3. Descomponer en factores primos: empezamos a descomponer en factores primos, pero la condición aquí, a diferencia del M.C.M. es que el factor primo elegido debe dividir a todos los números por igual y sin residuo. En el caso de este ejemplo no se puede comenzar por el 2, pero podría ser el tres, aunque si nos damos cuenta solo divide al 15 y no también al 25, por lo que el factor primo que sí lo hace es el 5.

¿Hasta qué punto dejar de descomponer? Esta es la pregunta clave que diferencía la obtención del M.C.M. con el del M.C.D. para no llegar al tener el mismo resultado. Dejaremos de dividir hasta que ya no sea posible dividir con un mismo factor primo a todos los números. Como se puede apreciar en el ejemplo, tras dividir entre 5 tanto a 15 como a 25 resulta que ya no es posible seguir dividiéndolos a los dos por igual con otro factor primo, entonces el máximo común divisor de 15 y 25 es 5.

Si aún tienes dudas te propongo que veas este vídeo para comprender mejor el tema y obtener el M.C.D. de cualquier cantidad.

Ahora que ya sabes obtener el M.C.D. es momento de practicar y mejorar:

Ejercicios resueltos de M.C.D.

Lo que NO necesitas saber sobre Números Primos, Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) y Máximo Común Divisor (M.C.D)

Al igual que el tema anterior aquí exploraremos aquellos conceptos y subtemas que nonecesitas repasar para entender lo principal, pero reitero que no están demás para hacer más apmlio tu campo de conocimiento de las matemáticas.

• Propiedades de los números primos: Tal y como en el caso de los temas que no son necesarios saber acerca de los criterios de divisibilidad, así también nos encontramos con las propiedades de los números primos que ayudan a tener una concepción más amplia con respecto a estos y que se logré un trabajo más completo con ellos, sin embargo, no es un tema indispensable con el que se tenga que contar para enseñar lo más importante acerca del tema. Además, estas propiedades son muy extensas por lo que incluso podría generar confusión al tratar de estudiarlos, pero recalco, esto no significa que no deban ser estudiado.

• Otros métodos de obtención del M.C.D y M.C.M.: existen otras maneras de hallar el M.C.D. y M.C.M. de cualquier cantidad o cantidades. No obstante, hay que considerar que estos pueden llegar a ser tediosos de comprender y basta con saber el método principal para obtener tanto el M.C.D como el M.C.M.

Referencias

UNAM. (s.f.). Universidad Nacional Autónoma de México. Obtenido de                                       http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematicas_IV/Applets_Geogebra/primos.html#:~:text=El%20teorema%20fundamental%20de%20la,consideran%20al%201%20como%20primo.

Olvera, B. G. (1998). Matemáticas: aritmética y álgebra. México: Dirección General de                            Educación Tecnológica Industrial.

Ucha, F. (Marzo de 2012). Definición ABC. Obtenido de                                                                                   https://www.definicionabc.com/ciencia/divisibilidad.php

Westreicher, G. (30 de Agosto de 2020). Economipedia.com. Obtenido de                                                 https://economipedia.com/definiciones/criterios-de-divisibilidad.html